Hola,
En primer lugar dices que puede realizar gestiones en la web de tu ayuntamiento, si para realizar estas gestiones necesitas tu certificado digital y las haces correctamente, eso significa que tu certificado funciona correctamente, es de lógica. Si es así no debes hacer nada de lo que te han dicho.
Si el punto anterior es correcto, estaría claro que tu problema se centraría en algún problema entre la web de la seguridad social y el explorador de internet que estés usando para acceder, yo recuerdo que hace un tiempo tuve problemas para acceder a la web de la seguridad social y descargar mi vida laboral desde Mozilla Firefox y lo solucioné acudiendo a una pagina de la Seg. Social donde me indicaban que requisitos necesitaba para acceder desde este navegador en concreto, ten en cuenta que cada navegador puede requerir una configuración diferente.
Además veo que estás usando Windows XP que es un sistema obsoleto, podría ser que en tu anterior ordenador tuvieses instaladas actualizaciones que en este nuevo no te hayas instalado.
Mi consejo es que recopiles la información de la versión del explorador que vas a utilizar para conectar a la Seg. Social, bien sea IE, Mozilla o Chrome y con los mensajes de error que te proporcione el sistema, si es que te proporciona alguno, te pongas en contacto con el Dpto. de informática de la Seg. Social para que te ayuden. Sobre todo tienes que asegurarte que tengas la última versión disponible del explorador de internet para tu versión de XP, de no ser así seguro que tendrás problemas.
En mi caso uso Windos 7, Google Chrome y accedo a la web de la Seg. Social para descargar la Vida Laboral sin ningún tipo de problema.
Saludos