1.- El control del dinero: Aparte del control del correspondiente Tribunal de Cuentas (a toro pasado), está el control de los servicios de Intervención del Ministerio de Hacienda (o de la Consejería, si se trata de CCAA). Sin el OK se esos servicios no se puede realizar ningún gasto. Obviamente, la estratagema de "facturas en el cajón" es una forma de eludirlos.
2.- El dinero no va repartido a los colegios. El gasto se gestiona por los serviciso del ministerio o consejería correspondientes. Cada servicio gestiona el gasto que le corresponde: por ejemplo, recursos humanos gestiona todo el gasto correspondiente a personal, servicios generales (o similar) otros gastos: limpieza, catering, etc.
3.- El director no decide nada en materia de gastos. Generalmente (no sé si en todos los casos) tiene una asignación para los pequeños gastos que puedan surgir en el día a día: por ejemplo un cristal roto en una ventana.
4.- No hay intermediarios.
5.- El gasto, en general, no se hace según número de niños. Creo que ese número se tiene en cuenta para los módulos de los colegios concertados, pero sólo en parte. Supongo que para contratar el catering sí se hará por numero de niños.
6.- Cuando el director dice que no hay presupuesto para arreglar el gimnasio es porque ha pedido a su consejería que lo arreglen y le han dicho que no hay tal.
7.- Sí, hay una cuenta para esa pequeña asignación mencionada en 3.
8.- Creo que la metodología es esquemáticamente la que te he comentado. Por lo demás, obviamente, se rigen por la numerosa normativa referencte al gasto público, contratación de las Administraciones Públicas, etc.