1.- El certificado se necesita porque en caso de no estar pagada toda la hipoteca, una parte de lo que tú pagues por comrpar el inmueble vas a retenerlo (= no pagar) al vendedor para destinarlo al pago de su hipoteca.
Por ejemplo: compras por 100.000€. Hay pendiente una hipoteca por un importe de 20.000€ (entre capital, intereses y comisiones del banco). Tú le pagarás 80.000€ al vendedor y los 20.000 los vas a destinar a saldar su hipoteca y por lo tanto a asegurarte que la casa está limpia. Al haber una hipoteca por el medio además de esos 20.000 es muy probable que tu banco (o su gestora) retengan una determinada cantidad (suele rondar los 1000-1200€) para afrontar la cancelación registral (una cosa es que la hipoteca esté pagada y otra es sacarla del Registro. A esto ultimo es a lo que me refiero con esta segunda retención).
Siguiendo con el ejemplo, y asumiendo que se retienen 1000€ para la cancelación, los números serían: 79.000€ para el vendedor, 20.000 para saldar hipoteca y 1000 para cancelarla del Registro (si hay sobrante de este último corresponde al vendedor, que es a quien se le ha retenido el dinero y por lo tanto quien lo ha pagado).
Por emitir certificado de deuda el banco no debería cobrar y así lo tiene dicho el Banco de España. Si llegaran a cobrar (que se podría recurrir) el coste creo que debería asumirlo el vendedor.
2.- La cancelación seguramente no se hace el mismo día porque hay que ingresar el dinero en la cuenta de la hipoteca del vendedor y tiene que venir un apoderado del banco a firmar. Si compras con hipoteca esto te lo gestionará el banco (o su gestora), que es el primer interesado en dejar la casa limpia.
Si por el contrario la hipoteca ya estuviera pagada y sólo quedara sacarla del Registro sí que la cancelación puede hacerse el mismo día en que compres. En este caso seguramente seguiría habiendo retención de dinero pero sólo de los 1000€ que te dije (puede que no la haya, según como se organicen con el vendedor). El resto sería todo para el vendedor.
Debería pagarla el vendedor porque se supone que te va a vender una cosa libre de cargas y hoy por hoy no lo está.