Yo metería esos 43000€ en tuBancaja ó ActivoBank. La ventaja de tuBancaja es que podrías hacer por ejemplo, 10 depósitos de 4300€ a un año, por si necesitaras algo de liquidez.
Ya he dado con el problema. Por si a alguien le pasa lo mismo, el problema estaba en que en "Opciones de Internet" -> "Opciones Avanzadas" tenía marcado "Usar TSL 1.1" y "Usar TSL 1.2" y así no funcionaba. Las desmarqué y funciona el DNIe perfectamente.
Bueno, al final se ablandaron y me reintegraron la cuota que no querían devolverme al principio. Está claro que están acostumbrados a que muchos clientes paguen y no protesten.
Lo curioso es que llevaban 8 años reintegrándome las cuotas sin problema alguno y precísamente ahora que se han popularizado los bancos online y como comentais otros como Cajamar tampoco las cobran, van y se hacen los duros.
No hay problema, soy cliente de varios bancos online. Precísamente Caja Madrid era el único "físico" que mantenía.
Lo mejor es que todos lo bancos tuvieran acceso exclusivo mediante el DNI-e y luego para hacer una transferencia te pidieran que introdujeras una clave que previamente te hubiesesn enviado al móvil. La seguridad perfecta nunca existirá pero con estas dos medidas sería bastante razonable.