Gracias a todos por vuestras respuestas. Al final lo que me ha "salvado" es lo que comentaba "javierrr". He abierto esta misma mañana una cuenta online desde la página de BBVA, he hecho un traspaso del dinero (gratuito e inmediato) y desde ahí he podido hacer transferencias sin comisiones (aunque sólo me ha dejado los primeros 30.000 por límite diario, así que mañana haré el resto).
Sólo ha habido un problema y es que la página de BBVA seguía fallando a la hora de mostrar las comisiones (el enlace de "Ver comisiones" seguía apuntando a una dirección incorrecta) y encima al consultar por teléfono los operadores me decían que la cuenta online TAMBIÉN tenía comisiones. Esto me resultaba bastante raro ya que aquí anuncian que las transferencias SEPA en la Cuenta Online eran gratuitas:
https://www.bbva.es/particulares/subhome/hazte-cliente/index.jsp
Así que al final he ido a la oficina y me han confirmado que la cuenta online no tiene comisiones. Curioso que los de la oficina sepan más de la cuenta ONLINE que los que atienden el teléfono de la operativa ONLINE...
Así que hemos hecho desde la oficina una transferencia desde la cuenta online para probar (la persona que me atendió en el banco me dijo que la podía retroceder en ese momento si saltase alguna comisión) y efectivamente la comisión resultó ser de 0 €.
Está bastante mal hecha la operativa online de transferencias en el BBVA, ya que sólo te informa de la comisión DESPUÉS de haber hecho la transferencia, no antes, pues antes sólo sale un enlace que no funciona. Y además la razón de que no funcione es una tontería. Simplemente es porque el enlace "Ver comisiones" apunta a:
https://www.bbva.es/estaticos/mult/epigrafe-6-servicios-de-pago.pdf
Y la dirección correcta es con dos letras en mayúscula:
https://www.bbva.es/estaticos/mult/Epigrafe-6-Servicios-de-pago.pdf
No entiendo cómo lleva tanto tiempo esto sin corregirse, pero bueno. Incluso aunque funcionara bien el enlace, sigue siendo confuso que la operativa de transferencias te dirija a ese documento PDF después de poner la cuenta y el importe, ya que ese PDF habla de comisiones que NO se aplican en la Cuenta Online. En vez de un enlace a un PDF simplemente debería decir "Comisión: 0 €" como en cualquier otro banco, que te indica cuál es la comisión antes de hacer la transferencia. En su lugar, en el BBVA te sacan un enlace que pone "Comisión: Ver comisión" y luego el enlace, como he comentado, no funciona, y aunque funcionara los datos de ese documento no se corresponden con la realidad.
En fin, el caso es que la solución parece ser abrir una Cuenta Online, que es gratuita y sin comisiones. Por otro lado, he aprovechado para cerrar la otra cuenta del BBVA, ya que tiene muchas comisiones, tanto por mantenimiento como por apunte (la única razón por la que estaba abierta era por unos depósitos que caducaron).
¡Gracias de nuevo por la ayuda!