Te comento pues he hecho todo el proceso hace una semana:
Cuando te des de alta en tubancaja a través de la web te aparecen los contratos en pdf y te los debes descargar, imprimir dos copias y firmar, mándales una sola copia a ellos firmada por tí (en una oficina de Bancaja te recogen la documentación y la mandan ellos mismos, o mándala por correo ) y quédate la otra copia y fírmala o no la firmes,como quieras, esa es para tí. Los pdf que te descargas YA VIENEN FIRMADOS POR EL BANCO por lo tanto tú desde el minuto 1 ya tienes tus contratos firmados por ellos y por tí. Mándales la primera página solamente del contrato de cuenta corriente, la primera solamente del contrato de la tarjeta y las dos páginas de la OTE (Orden de traspaso de efectivo ), y fotocopia del DNI,lo que más tarda en llegar es la tarjeta del cajero, pero el proceso en total viene a tardar una semana. Funcionan muy bien y el proceso es rápido. En cuanto a confianza no me dan ni más ni menos que cualquier otro on line o físico, todos tendrán a buen seguro bastante mierda en sus cuentas, pero por el tema del conbtrato es así como te he dicho, tienes contratos firmados por ellos desde el principio, aún antes de mandarles ni un duro. Saludos y espero que te haya servido la información.