Normalmente estará a nombre de la empresa, a diferencia del renting que suele ser de titularidad de la arrendadora .... lo que se hace habitualmente en el leasing es que figure a nombre del cliente, pero con una reserva de dominio a favor del banco o compañía de leasing y al mismo tiempo una anotación en el registro de bienes muebles, que está a cargo del Registro Mercantil ....
Entonces y aquí puedo errar, tienes que solicitar un certificado de cobro del banco o entidad de financiación, por el cual dan carta de pago de la deuda, creo (no estoy seguro) que ahora en el "Mercantil" quieren que la firma de la carta de pago esté legitimada por un notario (esto no es caro, no sé si son 10 ó 12 € por firma, por tanto como mucho 25 ó 30 € que el banco te cargará en cuenta), entonces con este document se da de baja la "carga" que pesa sobre el vehículo, lo que no sé es si primero hay que ir a tráfico y luego al mercantil, al revés, o se precisan de dos copias de la carta de pago, una para cada organismo, pero de esto te pueden informar en un gestoría que tengan por costumbre los trámites de compra/venta de vehículos o de matriculación de nuevos .... al final supongo que tendrás que encargar esto a una gestoria ....