¿Es fácil pinchar un ordenador desde una biblioteca pública?.

Si es afirmativo, ¿que pueden buscar?, ¿que es lo que no debemos hacer?.

Te explicas poco...
Supongo que te refieres, a si pueden acceder a tu portatil si te conectas a una red wifi pública.
La verdad no sé la complicación que tiene, pero si tienes datos "sensibles" en el ordenador, mejor no lo hagas.
Una buena tarifa de internet en el móvil, y puedes proveer desde este al portátil de conexión a internet, y si lo haces mediante cable, más seguro todavía.
Saludos.

Dependerá de la seguridad que tenga la red de la biblioteca que comentas. El mayor riesgo de este tipo de redes es cuando te dejan conectarte sin ninguna clave. Te dejo el post donde se comentan las precauciones al conectarse y alguna recomendación: https://www.rankia.com/blog/adsl/2263762-recomendaciones-seguridad-para-red-wifi-publica

Especialmente, fijáte si estás navegando de forma segura con HTTPS y de tener activado el Firewall.