Buenos días:
Por lo que yo conozco de allegados, y espero que tarde en conocerlo en persona, el cobro de la prestación contributiva por desempleo ( no confundir con subsidio que no es lo mismo y en la tele sobre todo mezclan ambos conceptos), es a todos los efectos una renta del trabajo. Por lo tanto a nivel de IRPF como de consideración por parte del banco/caja, es una renta del trabajo.
Por otro lado no he visto ni leído, hasta el momento, ninguna oferta de bancos por domiciliar el desempleo. Entiendo que la cuenta en la que cobrases tu anterior sueldo seguirá manteniendo las condiciones derivadas de tener domiciliada tu nueva, y espero que por poco tiempo, "nómina".
Un saludo.