Yo diría que no es buena idea meter todos los ahorros en un banco o en cualquier otra acción, es conveniente comprar al menos acciones de 5 - 10 empresas con historial de pago de dividendo constante y creciente. Lamentablemente no hay muchas en España y, a veces, están caras y no merece la pena invertir en ellas. Hay que salir fuera para hacerse un plan de ahorro en acciones y aún así habrá rachas malas, al menos los dividendos aportan liquidez.
Concretamente Caixabank, dentro del sector banca, que es lo que es y está como está, no es mala opción.
Como broker yo miraría el de Selfbank (yo lo uso) cuenta sin custodia si decides comprar acciones, puedes comprar en EEUU (el mejor mercado de acciones) gratis con promociones puntuales, como la semana del 4 de julio (festivo por su independencia) y la del black friday. Las acciones de caixabank puedes comprarlas en el propio broker del banco.