A algo te puedo responder:
1 - No
2 - Creo que habría que elevar el contrato a público, o posiblemente con una mera legitimación notarial de la firmas sería suficiente, pero para legitimar tiene que ser todas las partes, el notario no te va a elevar a público solo "la mitad" de las firmas, bueno a medias con otro notario si que se puede.
3 - ver la 2
4 - En ambos lugares si se hace bien, lo que si es obligatorio es liquidar los impuestos de actos jurídicos, lo que antes llamaban "el timbre", esto lo hace poca gente, y el día que la comunidad autónoma se meta ahí se puede liar gorda, y no es muy complicado de localizar. También se registra en el organismo de vivienda con el depósito de la fianza, que también hay muchos que pasan olímpicamente.
Ventajas, pues para mi solo una y que al registrarse, si alguien embargara la finca al estar registrado el contrato como "carga" en la finca, la seguridad jurídica del inquilino sería mayor, ningún nuevo propietario podría alegar ignorancia, no obstante la practica supone que sin registrar también hay que respetar los contratos, pero si, mirando lo puramente legal, con un contrato registrado la garantía es mayor, y no creo que sea caro, solo los honorarios del registrador. Problemas??? pues aparte del coste de registar ninguno mas en la entrada, pero ya veo yo los múltiples problemas para "la salida", como el inquilino no quiera firmar un nuevo documento para levantar la carga, ya la tenemos liada ... supongo que se podría poner un pacto de que no se devolverá la fianza si el inquilino no comparece ante notario a efectuar la baja, por la que seguro habría que pagar los honorarios de cancelación.
Pero vamos no soy muy especialista en todo esto, puede que haya cometido algún error o inexactidud en las respuestas.
La pregunta número 5 la pongo yo ¿hay algún tipo de contratos de alquiler que se registren siempre? Si, los arrendamientos financieros, los llamados leasing's inmobiliarios, que a efectos jurídicos son alquileres con una opción de compra predefinida, de hecho las fincas que se financian de este modo, figuran a nombre del arrendador financiero (normalmente un banco o caja de ahorros, si bien hay compañías no bancarias que tienen este tipo de negocio, pocas pero las hay), y se establece un precio para a ejercitar la opción de compra por parte del arrendatario, de todas formas esto solo son los efectos jurídicos, porque en realidad es una forma de financiación de un bien de inversión, con ventajas fiscales (1) ya que el objeto es que al final la finca se la quede el arrendatario y el cálculo del alquiler viene determinado por la devolución del capital mas sus intereses.
(1) ventaja fiscal: No, no es que no se paguen impuestos, se pagan los mismos, lo que ocurre es que se pagarán mas tarde, y esto de por si es una ventaja, no es lo mismo pagar hoy unos impuestos que hacerlo dentro de 5, 6 ó 10 años, la ventaja financiera es considerable.