Seguro coche y DGT después de fallecer uno de los titulares

Hola, pues resulta que mi padre y yo tenemos un coche que está a nombre de los dos. El coche ya tiene 19 años (no creo que sea relevante salvo si hay que pagar impuestos). Él aparece como Titular y yo como Cotitular en el permiso de circulación. Él es el tomador del seguro y yo consto como conductor habitual. 

El asunto es que mi padre ha fallecido.

En un primer momento me planteaba llamar directamente al seguro y comentarles la situación a ver si siendo yo cotitular del coche podría cambiar el seguro completamente a mi nombre (tomador y conductor) puesto que el riesgo considero que no cambia en absoluto respecto de la situación anterior. Pero he estado leyendo por ahí y no me aclaro. He deducido que puede que primero deba cambiar el orden de los titulares del coche en la DGT o incluso ponerlo todo a mi nombre.

Los herederos somos mi madre y yo, no hay ningún problema entre ambos para que yo lo ponga a mi nombre. Todavía estoy tramitando todo el papeleo de sucesiones. He leído también algo de una declaración responsable en caso de fallecimiento de un familiar.

¿Alguien podría orientarme sobre cómo proceder con la titularidad y el seguro de dicho vehículo?.

Muchas Gracias.

No tienes que ser el propietario titular para ser el tomador del seguro. Respecto al seguro, es posible que al cambiar los datos del tomador te pueda variar el precio por el tema de las bonificaciones, aunque eso dependerá de tu compañía.

Y no compliques nada hasta que la herencia esté adjudicada y cambiado de titular en la DGT el permiso de circulación.

Como te dicen, luego cada compañía es mas o menos cariñosa con esas situaciones.

Muchas gracias por las respuestas.