Nose si cobrarás o no... En principio deberías cobrar... Eso lo debes ver en tu app o llamar al teléfono de la SS.SS para que te confirmen.
Por otro lado, la baja de paternidad está exenta de IRPF y añado en mi experiencia fiscal, en la prox.eclaración de la renta no imputa como rendimiento del trabajo con lo cual es como si no hubiese un segundo pagador, lo que si quitan son las cuotas sociales que es un 6% del bruto diario aprox
Saludos