Pueden darse varios casos, pero simplificando y suponiendo que seas un ciudadano español:
Por enfermedad común te atenderán GRATUITAMENTE en la Seguridad Social.
Por accidente de tráfico, te atenderán GRATUITAMENTE en la Seguridad Social, pasando luego cargo de los costes a la compañía de seguros de la parte responsable del siniestro, o al tercero responsable identificado como tal, en el caso que no tuviese seguro.
Por accidente laboral, te atenderán GRATUITAMENTE en la seguridad social, teniendo despues que compensarse con la mutua de accidentes que tenga la empresa contratada, dichos gastos.
Creo que en nuestro sistema de seguridad social no se puede dar el caso que por una enfermedad común, la Seguridad social pase cargo del tratamiento, a una compañía de seguros de salud, ya que este último en todo caso es siempre, un seguro de salud complementario al público, que no lo sustituye.
Este país, por el momento, en Salud, aún no es EE.UU., y Dios quiera que nunca lo sea.
Un saludo.