Por aclarar y para no juntar las churras con las merinas:
No todas las pensiones son iguales, ni las gestiona el mismo organismo. Las pensiones de clases pasivas (como las que ha citado el compañero joanbe) no se pagan el día 1, sino antes, frecuentemente la orden de pago se da el día 25, por lo que se recibe el 26. Aunque puede variar según el mes de que se trate (el número de días que tenga y si final de mes cae en festivos o no). Normalmente se suele tener el dinero en poder del pensionista unos cuatro días hábiles antes de que finalice el mes. En este caso el banco no es que anticipe nada, sino que clases pasivas da la orden de pago en esa fecha.
Caso distinto son las pensiones del régimen general de la seguridad social en las que, en caso de cobrarse antes del día 1 es porque el banco está anticipando la fecha prevista de cobro, por eso algunos bancos lo hacen y otros no. En las de clases pasivas se cobra antes del día 1 (normalmente el 26) sea en el banco que sea. En este mes (aunque aun no esta publicado el día de cobro) probablemente la orden de pago se de el día 22 (en el Banco de España), por lo que la pensión se cobrará en las entidades bancarias el día 23.