Hola,
Te cuento mi caso, pues tengo 2 hijos con dependencia. Para el mayor solicité dependencia a finales de octubre, nos llamaron a finales de diciembre, visita en casa sobre el 10 de enero o así, resolución grado dependencia a finales de marzo, aprobación prestación económica en abril, el primer mes cobrado fue abril. Para el pequeño: solicitada la dependencia a mitad de enero de este año, llamada para ir a Crecovi en marzo (hasta 3 años de edad se evalúan en Crecovi en vez de en tu casa), grado en mayo, prestación económica aprobada en junio, el primer mes cobrado fue junio. Espero haberte ayudado. Por lo visto ahora mismo los plazos en Madrid no son tan malos como antes. En nuestro caso todo el proceso en caso de ambos unos 6 meses.