Si tu madre falleció sin haber otorgado testamento, la ley sustituye su voluntad por la de un tercero -un Juez o un notario-, que es quien dicta una declaración de herederos abintestato (sin testamento).
Si el piso tenía carácter ganancial, la sociedad de gananciales se extingue por el fallecimiento de uno de los dos cónyuges, por lo que habrá de hacerse su liquidación: por ello, tu padre se adjudica el 50% de todos los bienes gananciales, incluido el 50% del inmueble.
El otro 50% es la parte de tu madre, que es lo que se podrá repartir.
Por lo que comentas, no había hecho testamento, lo que constará así en la certificación del Registro General de Actos de Última Voluntad. En tal caso será necesario que un Juez o un notario determinen quiénes son los herederos llamados con arreglo a la ley.
Desde el 23 de julio de 2015 -fecha de entrada en vigor de la nueva ley de Jurisdicción Voluntaria-, todas las declaraciones de herederos las tramitan los notarios, pero en enero seguramente lo habría hecho un Juzgado.
Por ello, entiendo que a lo que acudisteis a notaría es a aceptar la herencia en la parte que a cada uno os correspondía según había declarado el Juzgado. Hasta que se acepta la herencia, no se es propietario legalmente.
Esa escritura de aceptación de la herencia es en sí misma un título inscribible, que se puede llevar al Registro de la Propiedad, previa presentación (y pago, si procede) del Impuesto sobre Sucesiones y Donaciones, para que figure en él el cambio de titularidad de la finca registral y los porcentajes de propiedad de cada uno de los herederos. El impuesto corresponde a cada uno de los adjudicatarios de la herencia y se liquidará por la base que le corresponda a cada uno, según el reparto de los bienes de la herencia, si bien, en Madrid, para los hijos hay una bonificación del 99% de la cuota, por lo que no pagarías prácticamente nada.
Por último, lo que hace tu padre no lo entiendo, ya que supongo que lo que quiere hacer es donar su 50% que le corresponde al disolverse la sociedad de gananciales, puesto que la legitima que le corresponde al cónyuge viudo no es transmisible (aunque sí se puede hipotecar, por el contrario).
¿Dónde puedes saber qué se ha hecho, como preguntas? Como digo antes, este tipo de actos son inscribibles en el Registro de la Propiedad, pero su inscripción no es obligatoria, sino facultativa. Pide una nota simple de la finca en el Registro, para ver cómo se reparte la titularidad de la misma, si bien, en el caso de que no se haya presentado nada a inscripción, seguirá a nombre de tus padres en régimen ganancial.
Por último, tu duda sobre los conceptos: cuando se constituye un usufructo sobre la propiedad, la parte que queda tras haber cedido la posesión, se llama "nuda propiedad", y "plena propiedad" es la suma de "nuda propiedad+usufructo".
Espero haberte podido ayudar. Un saludo.