Primero deberías esperar resolución a los documentos que te han solicitado.
Segundo aunque quieras solicitarla el mes que viene como dices empadronando al padre de tus hijos tienes que esperar mínimo 6 meses para que la unidad de convivencia esté constituida.es el minimo obligatorio asi que hasta que no pasen 6 meses desde el empadronamiento aunque la solicites te va a venir denegada.
No es tan simple como parece .es mucho más factible y rápido haber solicitado un abogado de oficio y haber interpuesto ya la demanda y con eso presentarlo y que te la resuelvan antes y a tu favor que todo el lío que estás al final montando por hacer un papel firmado que ojalá qye si pero si ven que el trabaja no te va a servir de nada porque saben que tiene ingresos con lo cual no es cierto que no te pague porque no tiene ....
Ya más bien creo que es que aunque no esté empadronado contigo ,estáis juntos,cosa que por mi me parece muy bien ya que así constas como tú sola con ellos .el fallo no hacer tenido convenio regulador hecho ya que para prácticamente todo hoy en día te lo van a solicitar 🤷🏼♀️🤷🏼♀️🤷🏼♀️🤷🏼♀️