A mí no me pide la contraseña casi nunca (con varios navegadores). Creo que hay muchas quejas con algunos navegadores desde hace mucho tiempo y que no se están solucionando. En consecuencia, lo más recomendable es buscar soluciones personales. Por ejemplo, yo he optado por tener el certificado en un PC portátil de uso estrictamente personal que te pide la contraseña al arrancarlo.
Actualmente tener calefacción eléctrica es ruinoso. No sé si cargar por la noche supone algún ahorro ya que el precio de la tarifa regulada cambia cada hora.