A ver, lo de vulnerabilidad económica es un comodín porque todo aquel que solicita el IMV se encuentra en dicha situación. Lo que la Seguridad Social quiere es que si tu empadronamiento es con varias personas en esa dirección, pero les dices que eres tú solo y no existe relación con otras personas, pues que se acredite por un tercero adecuadamente, sean Servicios Sociales o una entidad mediadora del tercer sector (porque que vaya un funcionario de la Seguridad Social en modo CSI a investigarte de momento queda fuera de contexto), y aunque antes "se fiaban" con una simple declaración jurada (que ojo, además también les puedes adjuntar) está claro que la cosa se les fue de madre en algún momento y decidieron basarse en documentos más firmes.
Yo ese documento que pusiste antes lo veo bien, incluso sin los datos de "la otra persona empadronada" (que sí lo puedes presentar en documento oficial y con los datos de la otra persona mejor, claro) pero falta ver lo que te responden al respecto desde la Seguridad Social o qué nuevas trabas te ponen, así que adelante, tírale y suerte ... ya nos contarás.