No, no es obligatorio que el cuidador no profesional esté dado de alta en el convenio especial de la Seguridad Social. Sin embargo, si la persona dependiente quiere acogerse a la Prestación Económica para Cuidados en el Entorno Familiar (PECEF), el cuidador sí debe estar registrado como tal en el plan de atención individualizado.
Desde 2019, las cotizaciones a la Seguridad Social de los cuidadores no profesionales están a cargo del Estado, pero darse de alta en el convenio especial es voluntario. Si el cuidador ya es pensionista (como en el caso de tu padre), darse de alta en este convenio no tiene sentido, porque no generaría nuevos derechos de jubilación ni de otras prestaciones.